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島根大学医学部 数学2017前期 

出題数

 

5題出題の中から4題指定。

第1問が医学部用の問題です。

第3、4、5問が総合理工学部情報システム学科と共通です。

第1問 確率漸化式(数A、数B)

小問:3つ

 

第3問 2次曲線

小問:3つ

 

第4問 三角比、整数

小問:3つ

 

第5問 数Ⅲ微分積分

小問:3つ

全体の難易度

 

問題の難易度は高くなく、解きやすいレベルといえます。

基本をしっかり勉強し、ある程度の入試問題になれていれば、十分に完答できる問題です。

また試験時間は120分に対して、分量は少なめといえます。

目標得点率

 

センター試験700点

2次試験460点(面接60点)

合計1160点満点です。

センターボーダーラインが85%ですので、センター試験で595点が目標点です。

2017年度合格最低点が総合で見ると 882.2/1160

※ちなみに2次試験だけの合格最低点を見ると、248.1/460

この方は634点以上(882.2-248.1=634.1)

をセンター試験で取っていることになり、その得点率は

634/700=0.9057・・・

9割以上とっていたんですね。

2次での最低限必要な点数が

882.2-595=287.2

ですから

287.2/460=0.624・・・

2次試験で63%以上必要です。

答え

​方針

 

第1問

(1)実験させてくれています。

(2)(1)のおかげで規則性が十分に把握できます。Anが偶数のとき、An+1は必ず奇数になることにもすぐに気付けるはずです。

(3)pn+qn=1を使うべきでしょう。

<まとめ>

数列、確率のような整数系のお話では実験が非常に重要です。(1)のような誘導がなくとも、実験をすることによって規則性をつかむべきです。この一手間が解答時間を短縮してくれます。急がば回れですね。またこの問題を難しく感じた人は確率漸化式に慣れていない可能性が大きいので、入試問題集で確率漸化式を10題くらい解きましょう。慣れている人にとっては、この問題はカンタンだと感じたでしょう。

題3問

(1)2次曲線と直線の位置関係は判別式が一般的です。

ただし、円と2次曲線(放物線、楕円、双曲線)の接点のときには判別式は避けます。

(2)m,nの関係式からnを消去し、mの2次方程式ができます。解の積が-1となればよい。よくある設問ですね。

(3)軌跡で大事なことは、交点を(X,Y)と置いたならば XとYの関係式をつくることでした。どうすれば関係式を簡単に作れるのかを軸に考えていきましょう。今回は点(X,Y)から楕円に引いた2つの接線が直交すると考えました。つまり(2)と同じ流れですから、(2)はヒントとして出してくれていたんですね。nを消去すれば、mの2次方程式ができあがりますので、解の積が-1であるという条件をつけることで X、Yの関係式が出来上がります。分母に文字がくるときは0かどうか考えることも忘れないようにしてくださいね。今回は場合分けで対応しましょう。

<まとめ>

出題のされ方は、入試においてはごくごく一般的です。青チャートなどで基本の考え方を一通りマスターしたなら、入試問題で演習を積みましょう。慣れてくると、この問題も「はい、この設定ね。解いたことあるよ。」と余裕をもって臨めるはずです。

題4問

(1)内角の和は180°

(2)整数ということはAは45°以上で、Bは45°より大きい。

(3)和が180°なので、あんまり大きい数字にはできなそうですよね。tanAはどれくらい大きくなれるのでしょうか? 実験してみましょう。試しにtanA=2とすると、Aは60°より大きくなります。ということは、B も C も60°より大きくなるわけですが、足すと180°を超えてしまいます。つまりtanA=1ですね。では、tanA=1を使って、tanBとtanCを求めるわけですが、何をどうすればいいか考えます。まずはヒントがないか探しましょう。そうです、(1)が怪しいですよね。変形するとすれば加法定理くらいですから、それをつかってみましょう。さらにtanばっかりだと見づらいので、b=tanB、c=tanC と置いてみましょうか。すると見覚えのある形になるかと思います。整数条件がついていますので、2次式バージョンの不定方程式ですね。

<まとめ>

(3)で手がでなかった人は真面目すぎるかもしれません(笑)。おそらく正攻法で解かないと、自分の数学の美学に反するとか?当てずっぽでもいいから、テキトーに値をはめてみると案外と気づきも多いですよ。やはり実験が重要になりますね。

題5問

(1)変曲点までやるのは面倒くさいけど、黙って頑張る。

(2)f(x)の符号変化するタイミングはπ(パイ)の倍数ですね。ということは被積分関数だけに絶対値がついていますが、積分計算全体に絶対値をつけてしまってもよいですね。また積分計算は部分積分を2回やるのが教科書的ですが、工夫の仕方を覚えて下さい。e^(-x)sinxとe^(-x)cosxをそれぞれ微分してください。それから辺々足してみると、右辺に今回の被積分関数が出てきますので、左辺は原始関数です。このようにe^t×sint、e^t×cot(tはxの1次式であればなんでも使えます)を微分することによって、原始関数を非常にカンタンに見つけられます。 

(3)ただの無限等比級数です。(2)の計算結果をブロックとして和をとりましょう。この手の設問ももあるあるですね。

<まとめ>

計算ミスだけしないように気をつけましょう。またe^(-x)sinxはよく題材になりますので、微分計算も何度か計算して慣れておきましょう。グラフはsinxが段々潰れていますが、そりゃそうだなって思えましたか?